trudo-vaya.ru - Садовничий Ю. Решаем задачи по геометрии: Другие задачи

Закрыть ... [X]

Решенные задачи на отношение

Основные теоремы и формулы

Теорема 1. Площадь круга радиуса r равна πr2.
Теорема 2. Площадь сектора круга радиуса r, ограниченного двумя радиусами этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна
Теорема 3. Площадь сегмента круга радиуса r, ограниченного хордой этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна

Теорема 4. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
AB = BC, ∠ABO = ∠OBC.

Теорема 5. В любом четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
AB + CD = AD + BC,\


и наоборот, если в некотором выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 6. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника отношение до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.

Теорема 7. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника:
AK = p.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 6. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,
CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p – BC.

Доказательство теоремы 7. Пусть окружность касается продолжения стороны AB треугольника ABC в точке K, стороны BC этого треугольника в точке L, продолжения стороны AC — в точке M.

Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y, CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p.

Решения задач

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти BC, если известно, что AC = 1, а вершина A лежит решенные задачи на отношение на окружности, проходящей через точки D, E, F.


Решение. Так как вписанный четырехугольник AFDE симметричен относительно прямой AD, то диаметром описанной около него окружности является отрезок AD, а прямая BC — касательной к этой окружности, проведенной в точке D.
Пусть AE = x, тогда EC = 1 – x, BD = DC = y. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:
CA∙CE = CD2 ⇔ 1 – x = y2.
Следовательно,

Значит,
Ответ:

Задача 2. В окружность вписан треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Вычислить площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.

Решение. Пусть в данном треугольнике ABC AB = 24, BC = 7, AC = 25. Так как верно равенство 72 + 242 = 252, то треугольник ABC — прямоугольный (угол B — прямой), центр O окружности, описанной около этого треугольника, является серединой гипотенузы AC, а радиус этой окружности равен 12,5. Пусть ∠ BAC = α. Из треугольника ABC получаем, что

Значит,
Тогда ∠BOC = 2α, и площадь сегмента окружности, стянутого хордой BC, равна

Ответ:

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами AB и AC равен Из вершин треугольника ABC на его стороны опущены высоты AA1, BB1, CC1. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность O, а через точки B, A1 и C1 — окружность O1. Найти отношение площади круга O к площади общей части кругов O и O1.

Решение. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, Q и Q1 — центры окружностей O и O1 соответственно, R и R1 — их радиусы. Рассмотрим четырехугольник AC1HB1. Так как его противолежащие углы AC1H и AB1H равны то окружность O является описанной около этого четырехугольника, а ее центр Q есть середина отрезка AH. Аналогично, окружность O1 описана около четырехугольника BA1HC1, а ее центр Q1 есть середина отрезка BH. Пусть R = 1, тогда

Так как угол AB1B — прямой, то угол ABB1 равен и

Общая часть кругов O и O1 есть объединение двух непересекающихся сегментов круга O и круга O1. Вычислим отдельно площадь каждого из этих сегментов. Дуга C1H сегмента круга O имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Дуга C1H сегмента круга O1 имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Искомое отношение равно

Ответ:

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся стороны BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Решение. Пусть D, E, F — соответственно середины сторон AB, AC и BC треугольника ABC, O — центр данной окружности, G — точка касания окружности с отрезком BC. Так как центр окружности, проходящей через точки D и E, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE, который является также серединным перпендикуляром к отрезку BF, то BG = GF = 1, а GC = 3. Пусть H — вторая точка гипотенузы AC, лежащая на окружности. Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC, найдем длину гипотенузы AC:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

Ответ:

Задача 5. Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O так, что С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение. Пусть K и M — точки пересечения окружности со сторонами угла. Разобьем фигуру, площадь которой надо найти, на сегмент MK и треугольник CMK и найдем площади S1 и S2 этих частей. Сначала вычислим площадь сегмента. Рассмотрим треугольник OCK, в нем

Применим к этому треугольнику теорему синусов:

Следовательно,

Площадь сегмента MK равна

Вычислим теперь площадь треугольника CMK. Применив снова к треугольнику OCK теорему синусов, получим, что

Значит, площадь треугольника CMK равна

Следовательно, искомая площадь равна

Ответ:

Задача 6. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании α вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Определить радиус второй окружности.

Решение. Обозначим через B вершину, а через AC — основание данного треугольника. Пусть M и T1 — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, O1 и r1 — соответственно центр и радиус этой окружности. Пусть также вторая окружность с центром O2 и радиусом r2 касается первой окружности в точке T, а стороны AB — в точке T2. Так как треугольник ABC — равнобедренный, то точки B, O2, T, O1 и M лежат на одной прямой, являющейся высотой этого треугольника. Радиус r1 найдем из прямо­угольного треугольника AO1M:

Найдем отношение r1 : r2. Заметим, что тре­угольники BO1T1 и BO2T2 подобны, поэтому верно равенство

где Продолжая полученное равенство, получаем, что

Ответ:

Задача 7. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D. Длина хорды AB равна длина хорды CD равна Найти радиус окружности.

Решение. Пусть Q — вершина прямого угла, O — центр данной окружности, OM и ON — перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые QC и QB соответственно. Обозначим через R радиус данной окружности, через K — точку касания окружности со стороной угла, через L — точку пересечения прямых KO и QC. Применим к тре­угольнику AON теорему Пифагора:

Из построения вытекает, что четырехугольник OKQN является прямоугольником, а треугольники KLQ и LMO — прямоугольными и равнобедренными. Имеем:

Применив теперь к треугольнику DMO теорему Пифагора, получим, что

откуда R2 = 2 или Геометрический смысл имеет лишь значение
Ответ:

Задача 8. На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом,
а также касается отрезка AB. Найти радиус третьей окружности.

Решение. Обозначим через O и Q соответственно центры первой и третьей окружностей, через C — точку касания первой и третьей окружностей, через D — точку касания второй и третьей окружностей, а через K — точку касания третьей окружности и отрезка AB. Пусть r — радиус малой окружности.
Так как центры касающихся окружностей и точка их касания лежат на одной прямой, то
OQ = R – r, а AQ = R + r. Применим к треугольнику AKQ теорему Пифагора:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику OQK, получим:

Ответ:

Задача 9. В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что угол DAB — острый, причем синус его равен косинус угла ADC равен Окружность с центром в точке O касается сторон AD, AB и BC. Найти длину отрезка BO.

Решение. Опустим перпендикуляры BM и CN из точек B и C на прямую AD. Так как угол DAB острый, точка M лежит с той же стороны относительно точки A, что и D.

Из треугольника ABM находим:

поэтому точка M лежит между A и D. Из того же треугольника ABM можно найти

Аналогично, cos ∠ADC < 0, поэтому угол ADC — тупой. Следовательно, точка D лежит между точками A и N. Из треугольника CDN находим:

Отметим, что BM < CN. Опустим перпендикуляр BP из точки B на отрезок CN. Рассмотрим треугольник BCP, в нем

Применим к треугольнику BPC теорему Пифагора:

Применив теперь теорему косинусов к тре­угольнику ACD, получим

Применив теорему косинусов к треугольнику ABC, найдем угол ABC:

Пусть ∠BAD = α, ∠ABC = β. Рассмотрим треугольник ABO. Так как окружность касается сторон AD, AB, BC, то ее центр O находится в точке пересечения биссектрис углов BAD и ABC. Значит,

Для нахождения длины отрезка BO воспользуемся теоремой синусов:

Вычислим входящие в это выражение значения:

(косинус положителен, так как угол острый);

Тогда

Ответ:

Задача 10. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = α, ∠BCA = β, AC = b. На стороне BC взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или ее продолжения за точку A. Найти радиус этой окружности.

Решение. Пусть K — точка касания прямой AC с окружностью, CD = x, тогда BD = 3x. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату касательной, проведенной к окружности из той же точки, следовательно, верно равенство CK2 = CDжCB = 4x2, откуда
CK = 2x. Для нахождения x применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Применим к треугольнику KDC теорему косинусов:

Рассмотрим треугольник BCK, в нем BC = 4x, KC = 2x, ∠BCK = β. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

Треугольник BDK вписан в данную окружность. Поэтому искомый радиус — это радиус описанной около треугольника BDK окружности. Найдем его по формуле

Площадь треугольника BDK вычислим по формуле Герона:

Следовательно,

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В параллелограмме ABCD с углом A, равным 60°, проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону CD в точке E. В треугольник ECB вписана окружность радиуса r. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

С-2. Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B — точка касания, а D и C — точки пересечения секущей с окружностью, причем точка D лежит между A и C. Известно, что BD — биссектриса угла B треугольника ABC и ее длина равна R. Найдите расстояние от точки A до центра окружности.

С-3. В трапеции ABCD известны основания, AD = 39, BC = 26, и боковые стороны: AB = 5 и CD = 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается стороны CD или ее продолжения.

С-4. В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD; вторая окружность касается сторон AB,
BC и CD. Найдите AC.

С-5. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Определите радиус r, если
AB = 12, R = 8.

С-6. В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C — точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса BO. Окружность S1 касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а окружность S2 касается дуги AB, прямой OA и окружности S1. Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2.

С-7. Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем все остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности?

С-8. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны a, угол ABC равен 120°. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Вторая окружность имеет центром точку B и проходит через точку D. Найдите площадь той части вписанного круга, которая находится внутри второго круга.

С-9. Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Определите основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d (c < d).

С-10. Круг радиуса 6 лежит внутри полукруга радиуса 24 и касается середины диаметра полукруга. Найдите радиус меньшей окружности, касающейся заданных круга, полукруга и диаметра полукруга.

С-11. Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены две общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен r. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6r. Точка A делит отрезок касательной, заключенный между точками касания, в отношении 1 : 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

С-12. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найдите площадь треугольника.

С-13. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка OC равна 5.

С-14. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина стороны AB равна 1,
а величина угла OAB равна 60°. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников ABO и BOC.

С-15. В равнобедренный треугольник ABC (в котором AB = BC) вписана окружность радиуса 3.
Прямая p касается этой окружности и параллельна прямой AC, но не совпадает с ней. Расстояние от точки B до прямой p равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон AB и BC.

С-16. В окружность радиуса вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD является диаметром, а угол BAD равен Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P такой, что AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

С-17. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

С-18. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 45°, причем прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

С-19. В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D, причем угол CDA равен Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD, DC и дуги AC, если AC = 2 и

С-20. В четырехугольнике ABCD расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и CD, а другая — сторон AB, AD и CD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и N и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырехугольника MBCN равен 2p, сторона BC равна a и разность радиусов окружностей равна r.

С-21. На стороне BC треугольника BCD взята точка A таким образом, что BA = AC, ∠CDB = α, ∠BCD = β, BD = b. Пусть CE — высота треугольника BCD. Окружность проходит через точку A и касается стороны BD в точке E. Найдите радиус этой окружности.

С-22. В треугольнике ABC сторона AB равна 4, угол A равен 30°, угол B равен 130°. На стороне AB как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга, лежащей внутри треугольника.

С-23. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен Окружность радиуса касается лучей, образующих угол ACB, и вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна а наибольшей из его сторон является сторона AC.

С-24. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, а BC = 3.

С-25. Две окружности с центрами A и B и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка AB. Найдите площадь S тре­угольника ABC, если известно, что S > 2.

С-26. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D. Найдите величину угла ABC, если известно, что AE = 1, BD = 3.

С-27. Отношение длин двух пересекающихся окружностей равно Общая хорда этих окружностей стягивает в меньшей из них дугу в Найдите стягиваемую этой хордой дугу большей окружности.

С-28. В угол с вершиной A величиной в 60° вписана окружность с центром в точке O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AM : MO = 2 : 3 и BC = 7.

Ответы:

Садовничий Ю.


Источник: http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=201000414


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Задачи в 2 действия. Для родителей школьников Ограничения по ввозу одежды

Решенные задачи на отношение Задача на растворы. Задачи на концентрацию
Решенные задачи на отношение Геометрический смысл производной
Решенные задачи на отношение Как решать задачи на вероятность?
Решенные задачи на отношение Математика 6 класс. Задачи. Тесты
Решенные задачи на отношение Задачи по математике 4 класс
Решенные задачи на отношение Ситуационные задачи
Решенные задачи на отношение LITOKOL / ЛИТОКОЛ - Искуство укладки питки и
Решенные задачи на отношение Monster High - Главная Куклопедия
Азия Паркет - лидер по продаже и укладке паркета Более 25 лучших идей на тему «Кожаный шнур» на Pinterest Гороскоп на завтра - Овен Имплантация и протезирование передних зубов - варианты Каталог - Центр красоты Астэра (Новогиреево, Перово, Вешняки)

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ